421. 数学中符号运算的训练，是学习其他科学的绝佳准备；……现实世界的工作需要人们持续掌握各种符号。 ——J.w.A. 扬《数学教学》（纽约，1907年），第42页
数学习符号之法，可为格物诸学之津梁；尘世诸事，亦赖符号以明其理、成其功。——J.w.A.扬《数学教学》（纽约，1907年），第42页
422. 数学的一个显着特点是，它能无限地衍生出实例和问题。学生可能只读了欧几里得的一本书，或者代数的几个章节，但在这个有限的知识范围内，就能为他设置与所学命题同样真实有趣的练习题；这些推导过程可能会让古希腊几何学家感到满意，这些代数命题也不会被帕斯卡和费马轻视。 ——艾萨克·托德亨特《数学的自主学习：学科的冲突及其他论文》（伦敦，1873年），第82页
数学之奇，在于能化生无数例题、妙题。学子纵仅览欧氏几何数卷，或习代数数章，亦可据其所知，演证新题。其所得之推论，足悦古希腊几何先哲；其代数命题，亦堪入帕斯卡、费马法眼。——艾萨克·托德亨特
《数学自主学习：学科冲突及其他论文》（伦敦，1873年），第82页
423. 如果你希望一个人善于推理，就必须尽早对他进行训练；锻炼他的思维，让他观察观念之间的联系，并按逻辑顺序思考。没有什么比数学更能达到这个目的了。因此，我认为所有有时间和机会的人都应该学习数学，倒不是要把他们培养成数学家，而是要让他们成为理性的人。因为尽管我们都自称理性，只要愿意，我们生来就具备理性的潜质，但可以说，天性只赋予我们理性的种子，而我们最终能走多远，取决于自身的勤奋和专注。 ——约翰·洛克《理解的指导》，第6节
欲培人精思善辩之能，当趁早磨砺。使其观物类之关联，循其理而穷其变。此中妙法，无逾数学。故凡有暇、有能者，皆宜习之。非求其成算学巨匠，实欲塑其理性之质。人虽天生具智，然禀赋仅为萌芽，终须勤勉深耕，方能致广大而尽精微。——约翰·洛克《理解之指导》，第6节
424. 其次，学习数学会让人们明白，在推理过程中，有必要区分所有不同的概念，看清当前研究中涉及的所有概念之间的关系，并摒弃与手头命题无关的概念，完全不考虑它们。在除数量关系之外的其他领域，这种方法对于正确推理绝对必要，尽管在这些领域中，人们不太容易注意到这一点，也不会认真践行。在那些被认为不需要证明的知识领域，人们往往笼统地进行推理；如果通过粗略模糊的观察，或者片面的思考，能得出看似合理的结论，他们通常就会满足于此；尤其是在争论中，人们会抓住每一根稻草，任何能为论点增色的内容都会被大肆宣扬。但如果不将所有要素逐一区分，忽略无关内容，而是从所有相关细节的综合结果中得出结论，这样的思维状态是无法发现真理的。 ——约翰·洛克《理解的指导》，第7节
再者，研习数学，可知思辨之要：必析诸念之异，辨其关联；舍无关之论，绝虚妄之想。此道非独用于量度之学，于他事之明辨亦不可或缺，然唯算学能使人深悟而笃行。若夫他学之域，世人多囫囵而思。观物粗略、立论片面，偶得似是而非之见，便觉足矣。尤其论辩之时，每执细故为据，牵强附会，矜夸不已。然欲探真理，必细剖毫厘，弃冗杂而取精要，汇众理而得确论。否则，终为迷途之人耳。——约翰·洛克《理解之指导》，第7节
=425.= 我之前曾提及数学，其中代数学为理解力提供了新的助力与视角。我提及这些并非要让每个人都成为精通的数学家或资深的代数学家；但我认为，即便对于成年人而言，研究数学也有无限用处：首先，通过实践能让他们确信，要让一个人合理推理，仅有自己满意且在日常中足够用的天赋是不够的。一个人在这些研究中会发现，无论他觉得自己的理解力有多好，在许多事情上，甚至是那些显而易见的事情上，理解力也可能会辜负他。这会消除大多数人在这方面对自身的自负；他们也不会轻易认为自己的心智无需帮助来拓展，不会觉得自己理解力的敏锐和洞察力已无可增添。——约翰·洛克《人类理解论指导》，第7节
仆前尝言数学，其中代数为格物致知之新助，别开生面。然非欲人人皆成算学巨擘、代数耆宿也。窃以为，即成年之士，研习此学，亦获益匪浅。首者，以实证之，欲善推理者，徒恃天赋，于日用间差强人意，犹未足也。人习此学，则知纵自恃其智，于诸多显明之事，亦有智穷之时。如此，可祛常人于此道之骄矜，不复轻谓己心无待增益，不复妄言己之睿思洞察无可进矣。
——约翰·洛克《人类理解论指导》，第七节
=426.= 我曾提到数学是让心智养成严密且连贯推理习惯的一种方式；并非我认为所有人都必须成为资深数学家，而是因为，一旦掌握了数学研究必然带给心智的推理方法，人们就能够在有需要时将其迁移到知识的其他领域。因为在所有类型的推理中，每个单独的论证都应像数学证明一样处理；观念之间的联系和依赖关系应被追踪，直到心智触及它所依据的根源，并始终观察到其中的连贯性……
——约翰·洛克《人类理解论指导》，第7节
仆尝言数学可令心府成缜密循次推理之习。非谓人皆须深通算学，实以其学必授人推理之法，若遇他学，亦可触类旁通。盖凡推理，每论皆当如数学之证，细察观念之关联倚赖，穷其本源，通贯首尾，观其脉络相承……
——约翰·洛克《人类理解论指导》，第七节
=427.= 作为对推理能力的训练，纯数学是一种极佳的训练，因为它仅由“推理”构成，不会让学生因“判断”的训练而负担过重；而且最好先开始一次学习一件事，并将心智训练的组合推迟到更晚的时期。
——R. 惠特利《培根随笔注释》（波士顿，1873），第一篇随笔，第493页
若为练思之术，纯数学堪称妙法。以其唯恃推理，不杂判断之务，可使人专习一事，循序渐进。初学之际，宜先专精，而后兼修他术，此乃善学之道也。
——R. 惠特利《培根随笔注释》（波士顿，1873），首篇，第四百九十三页
=428.= 自古就有这样一种说法：几何学是极佳的逻辑学。必须承认，当定义清晰时；当公设无法被拒绝、公理无法被否定时；当从对图形的清晰思考和比较中，通过一连串始终连贯的推论推导出其性质时，且对象始终在视野中、注意力始终专注于其上；此时就会养成一种严密、精确且有条理的推理习惯；这种习惯会强化和磨砺心智，且当它被迁移到其他学科时，在追求真理的探究中具有普遍用途。
——乔治·贝克莱
《分析学家》，第2章；《着作集》（伦敦，1898），第3卷，第10页
古云：“几何者，至精之逻辑也。”诚哉斯言！夫定义昭昭，公设无可驳，公理不可违。观图形之象，比其异同，以连环相扣之推论，穷其性质。目不离象，神不外驰，则能成谨严精审、条理井然之推理之习。此习既成，可砺心智，若推及他学，于求道问真之事，皆大有裨益。
——乔治·贝克莱《分析学家》，第二章；《文集》（伦敦，1898），卷三，第十页
429.假设我想训练自己的推理艺术；假设我想跳出猜想与概率的领域，摆脱权衡证据的艰巨任务——不必再费力拼凑实例来归纳普遍命题，而只想知道如何正确处理已获得的普遍命题，并从中演绎出正确结论。显然，这种思维训练在最基础原理绝对正确的学科中效果最佳。因为在所有思考中，若得出错误结论，无非两种原因：要么始于错误前提（此时无论推理多缜密都难逃谬误），要么推理过程本身有缺陷（此时即便前提完全正确，结论仍可能错误）。
但在数学或纯粹科学中——几何、算术、代数、三角学、变分法或曲线微积分——我们至少确信其第一原理绝无错误可能，因此可将全部注意力集中于推理过程本身。正因这些学科皆以空间与数量的基本真理为基础，它们历来被视为最严密的逻辑训练。当柏拉图在学园门口刻下未通几何者不得入内时，并非要求弟子们讨论线与面的问题。相反，他引导弟子思考的是人类存在、责任、命运及其与神灵和未知世界关系等最深奥的命题。几何学与这些何干？
关键在于：未经系统思维训练、不懂从前提中合法推导结论之人，根本不配探讨这些崇高命题；而柏拉图时代唯一体系化的数学科学——几何学，恰恰能提供这种必需的逻辑训练。我们英国长久以来也奉行此原则。未来的律师、牧师和政治家们在大学被要求研习大量曲线、角度、数字与比例知识，绝非因这些内容与其职业生涯有何关联，而是通过学习它们，方能养成坚定精准的思维习惯——这种习惯对人生一切志业的成功都不可或缺。
——J. c. 菲奇，《教学演讲录》（纽约，1906年），第291-292页
设吾欲精研推理之术，冀脱臆测揣度之域，免罹权衡证验之苦。不劳缀辑事例以成公论，但求明于处置既得之通理，而能演绎确论。其理昭然，若欲炼此思维，莫若求诸基理确凿之学。盖凡思索致误，其因有二：一者始于谬论，纵推理缜密，终陷歧途；二者推演失当，虽前提无误，亦难获正解。
至于数学及纯粹之学，若几何、算术、代数、三角、变分、微积之属，吾人可笃信其根本原理无谬，故能专意于推演之术。此等学问，皆立基于空间数量之至理，向被视为逻辑锤炼之极则。昔柏拉图于学园门首刻铭曰：“未谙几何者，勿入斯门。”非欲学徒徒事线面之辨，实欲其思索人生、责任、运数，以及人神之际、幽明之故等玄奥之旨。几何之学，与斯事何涉？
其要在于：若人未受系统思维之训，不明推论之法，则无足与论此等高深之理。而柏拉图之时，几何学为唯一体系完备之数学，正可授人以必需之逻辑训练。吾英邦亦久循此道，凡习律、学道、志在经纶之士，于太学之中，必研求曲线、角度、数理、比例之学。非以其与他日功业相关，实欲借此养成精审果决之思维，盖此等习性，于人生百业之成，皆不可或缺也。
——J. c. 菲奇，《教学演讲录》（纽约，1906年），第291 - 292页
430.所有人都承认：一个成熟甚至合格的思考者绝非仅凭天赋就能造就——日常经验清楚表明，教育能开发那些否则永远不会显现的潜能。因此，要具备推理能力，必须先学习如何推理，正如要学会游泳或击剑就必须先接受训练。推理必须有所依托，具体对象并不重要，只要能确保推理过程可靠即可。心灵或物质的特性、语言研究、数学或自然历史都可作为训练素材。而在所有选项中，最理想的是选择能验证推理结果的领域——即通过测量或各类直观演示等其他手段来检验结论真伪的学科。
就像最初发现磁石指向性时，人们必须在探险航行前反复验证这项新发现的可靠性。我们的理性能力同样如此：在完全信任推理之前，最好先在能通过其他方式验证结论真伪的对象上锻炼这种能力。数学尤其适合这种训练，原因如下：
1. 术语明确定义：每个概念都有清晰解释且唯一含义，极少出现同义术语混用。
2. 公理不言自明：基本原理直观可见，所需观察力不超过儿童普遍认知水平。
3. 证明绝对严谨：除自明公理外不作任何假设，不依赖概率，完全独立于权威与主观意见。
4. 结论可被检验：几何结论可通过实际测量验证，代数结论可通过算术计算复核——这对建立信心至关重要。正如前文所言，理性不应是导师，而应是学生。
5. 概念界限分明：不存在含义相近易混淆的词汇，术语间非此即彼，完全规避表示程度差异的形容词\/副词。
——奥古斯塔斯·德摩根，《数学研究与难点》（芝加哥，1898年），第1章
世人咸谓：善思之士，非独恃天赋可成。验诸日用，教育能启潜藏之智，若弗然，则终隐而不彰。故欲精于推理，必先学其法，犹习泳、练剑，非经训诫不能得也。推理必有所凭，所据之物非关宏旨，要在能证其推演之确。或究心物之性，或治语言之学，或习数理，或研博物，皆可为练思之资。然诸科之中，最善者莫若能验其结论者——即以量度、演示等术，核其论之真伪。
昔人初察磁石指南之性，必于航海前再三核验，以证其信。吾人之理性亦复如是，未可遽信，当先择可核之事物，习练其能。数学之为用，尤适于斯道，其由有五：
一曰名辞精审。每立一义，释义明切，旨归唯一，鲜见异名同实之弊。
二曰公理自显。根本之理，昭然若揭，其智识之需，不逾童蒙之量。
三曰论证谨严。除自明之理，不假他设，不恃或然，超然于权威私见之外。
四曰结论可征。几何之论，以度测验；代数之解，以算复核。此于树立信据，最为切要。如前所云，理性非师道，实当为学徒。
五曰概念判然。义无模棱，辞无含混，非此即彼，绝去形容之辞，不涉程度之差。
——奥古斯塔斯·德摩根，《数学研究与难点》（芝加哥，1898年），首章