2004. 清晰地掌握空间概念是所有几何推理的首要前提；而这种概念的清晰性可以通过考察公理是否能在心智中呈现为自明的来检验。——休厄尔，威廉。
《归纳科学的哲学》，第一部分，第二卷，第四章，第四节（伦敦，1858年）。
明析空间之念，乃一切几何推理之首要前提；而此念之明，可验于公理是否自显于心为不证自明。——休厄尔，威廉。
《归纳科学的哲学》，第一部分，第二卷，第四章，第四节（伦敦，1858年）。
2005．几何公理既不是先天综合结论，也不是实验事实。它们是约定：在所有可能的约定中，我们的选择受实验事实的指引，但依然是自由的，唯一的限制是必须避免所有矛盾……换句话说，几何公理只是伪装起来的定义。
既然如此，人们该如何看待这个问题：欧几里得几何是真的吗？
这个问题毫无意义。这就好比问公制是真的而旧度量衡是假的，或者笛卡尔坐标系是真的而极坐标系是假的一样。——庞加莱，h.
《非欧几何》；《自然》杂志，第45卷（1891-1892年），第407页。
几何公理，非先天综合之论，亦非实验之实。乃约定也：于诸可能之约中，吾辈之选虽为实验所导，然仍自由，唯以避矛盾为限……易言之，几何公理者，伪装之定义耳。
既如此，则“欧氏几何为真乎”之问，实属无谓。犹问度量衡之公制为真、旧制为妄，或笛卡尔坐标为真、极坐标为妄也。——庞加莱，h.
《非欧几何》；《自然》杂志，四十五卷（1891-1892年），四百七页。
2006．我完全不认同这种观点（即公理是我们完全随意假定的命题，同样，基本概念归根结底也只是我们用来运算的任意符号），我认为这是所有科学的消亡：在我看来，几何公理并非任意的，而是合理的命题，它们通常源于空间直觉，其各自的内容和序列由权宜性理由所支配。——克莱因，F.
《高观点下的初等数学》（莱比锡，1909年），第2卷，第384页。
吾全然不契此说（谓公理乃随意假定之命题，基本概念终亦不过运算之符号），视之为众学之亡也：在吾观之，几何公理非任意，乃合理之论，多源于空间直觉，其各自之内容与次第，皆由权宜之理所辖。——克莱因，F.
《高观点下的初等数学》（莱比锡，1909年），二卷，三百八十四页。
2007．欧几里得第五公设[平行公理]
如果一条直线与两条直线相交，使得同旁内角小于两个直角，那么这两条直线如果无限延长，会在这两个内角所在的一侧相交。——欧几里得
《欧几里得几何原本十三卷》[t. L. 希思译本]，第1卷（剑桥，1908年），第202页。
欧几里得第五公设[平行公理]
若一直线与两直线相交，使同旁内角小于二直角，则此两直线若无限延长，必于内角小处之侧相交。——欧几里得
《欧几里得几何原本十三卷》[希思译]，一卷（剑桥，1908年），二百二页。
2008．必须承认，欧几里得的[平行]公理作为平行线理论的基础是不令人满意的。它既不能被视为简单的，也不能被视为不证自明的，因此它不符合公理的基本特征……——霍尔，h. S. 与史蒂文斯，F. h.
《欧几里得几何原本》（伦敦，1892年），第55页。
不得不承认，欧氏[平行]公理为平行线理论之基，实难令人满意。既不可谓简，亦不可谓自明，故不合公理之本旨……——霍尔，h. S. 与史蒂文斯，F. h.
《欧几里得几何原本》（伦敦，1892年），五十五页。
2009．我们仍然可以恰当地宣称，平行公理是允许我们描述空间关系的最简单假设，因此通常来说，概念和公理并非直觉的直接事实，而是出于权宜性理由选择的这些事实的理想化产物。——克莱因，F.
《高观点下的初等数学》（莱比锡，1909年），第2卷，第382页。
吾辈仍可断言，平行公理乃描述空间关系之最简假设。故概言之，概念与公理非直觉之直接事实，乃择自事实之理想化，以权宜为据也。——克莱因，F.
《高观点下的初等数学》（莱比锡，1909年），二卷，三百八十二页。
2010．我们空间的特征并非思维的必然，欧几里得公理的真实性——就它们将我们的空间与其他可想象的空间特别区分开来而言——必须且只能通过经验来确立。——鲍尔，R. S.
《不列颠百科全书》，第9版；“测量”条目。
吾辈所处空间之特征，非思维之必然。欧氏公理之真，就其别吾空间于他可思议之空间而言，必且唯由经验确之。——鲍尔，R. S.
《不列颠百科全书》，九版；“测量”条。
2011．数学和生理学研究表明，经验空间只是许多可想象情形中的一个实际案例，关于其特殊性质，只有经验才能告知我们。——马赫，恩斯特
《通俗科学讲演录》（芝加哥，1910年），第205页。
数学与生理学之研究表明，经验空间者，不过众可思议情形中之一实际案例，其特殊性唯经验能示吾辈。——马赫，恩斯特
《通俗科学讲演录》（芝加哥，1910年），二百五页。
2012．常见的定义“公理是不证自明的真理”——如果它有任何意义的话——意味着我们称之为公理的命题已经根据我们的经验和直觉得到了认可。从这个意义上说，数学没有公理，因为数学是一门形式学科，支配它的是形式蕴含而非实质蕴含。——威尔逊，E. b.
《美国数学会会刊》，第2卷（1904-1905年），第81页。
俗谓“公理者，自明之真理”，若有义，则谓吾辈所名公理之命题，已由经验与直觉认可。就此义言，数学无公理，盖数学为形式之学，统之者形式蕴含，非实质蕴含也。——威尔逊，E. b.
《美国数学会会刊》，二卷（1904-1905年），八十一页。
2013．对不证自明的命题进行证明，在门外汉看来可能是一种有些无聊的消遣。对此我们可以回应说，一个明显的命题是否能从另一个明显的命题中推出，往往绝非不证自明；因此，当我们用一种不明显的方法去证明明显的事物时，我们实际上是在发现新的真理。但更有趣的反驳是，自从人们尝试证明明显的命题以来，他们发现其中许多都是假的。自明性常常只是鬼火，若我们把它当作向导，定会误入歧途。——罗素，伯特兰
《近期关于数学原理的研究》；《国际月刊》，第4卷（1901年），第86页。
证自明之论，于门外汉观之，似为无谓之事。对此可答曰：一显论是否出自他显论，往往非自明；故以不显之法证显者，实乃发新理也。然更趣之驳曰：自人试证显论以来，方知多为虚妄。自明者常如鬼火，若奉为导，必入迷途。——罗素，伯特兰
《近期关于数学原理的研究》；《国际月刊》，四卷（1901年），八十六页。
2014．[欧几里得平行公理]问题如今与化圆为方和用直尺圆规三等分角问题处于同一境地。就数学界而言，这个着名的平行问题已经一劳永逸地解决了。——扬，约翰·韦斯利
《代数与几何的基本概念》（纽约，1911年），第32页。
[欧氏平行公理]之问题，今与化圆为方、直尺圆规三等分角同列。就数学界而言，此着名之平行问题，已一劳永逸地解决矣。——扬，约翰·韦斯利
《代数与几何的基本概念》（纽约，1911年），三十二页。
2015．如果欧几里得的假设是真的，那么那些距离我们无限遥远的空间部分的构造——“无穷远平面上的几何”——就像这个房间任何部分的几何一样为我们所熟知。在这个无限且完全可知的空间中，宇宙至少在无限且完全可知的时间的某一部分里存在着。如此一来，我们至少拥有了关于宇宙某些方面的真实知识；这些知识在浩瀚时空之中都是真实的。而罗巴切夫斯基及其后继者剥夺了这一点。如今的几何学家对无限远处实际存在的空间的性质一无所知；对过去或未来永恒中当前空间的属性也一无所知。诚然，他知道欧几里得所假定的定律是真实的，其精确性是任何直接实验都无法企及的，不仅在我们所在的这个地方是如此，在任何天文学家都无法想象的遥远地方也是如此；但他所知道的只是“此时此地”的情况；超出这个范围的“彼时彼地”，他目前一无所知，但最终可能会了解更多。——克利福德，w. K.
《演讲与论文集》（纽约，1901年），第1卷，第358-359页。
若欧氏之设为真，则距吾辈无限远之空间构造——“无穷远平面之几何”——亦如室内任何部分之几何，为吾辈熟知。在这无限且尽知之空间中，宇宙至少于无限且尽知之时之一段存焉。如此，吾辈至少有关于宇宙之真识；此识于浩瀚时空皆为真。然罗巴切夫斯基及其后继者夺之。今之几何学家，对无限远处实存空间之性一无所知；对往昔或未来永恒中当前空间之性，亦一无所知。诚然，彼知欧氏所设之律为真，其精密度非任何直接实验所能及，不仅于此地为然，于任何天文学家难想象之远处亦如是；然彼所知者，唯“此时此地”耳；超出此界之“彼时彼地”，彼目前无知，然终可多知也。——克利福德，w. K.
《演讲与论文集》（纽约，1901年），一卷，三百五十八至三百五十九页。
2016．事实是，其他几何体系是可能存在的，但归根结底，这些其他体系并非空间本身，而是其他空间测量方法。空间只有一个，尽管我们可以构想许多不同的流形——这些都是为确定空间而发明的装置或理想构造。——卡鲁斯，保罗
《科学》杂志，第18卷（1903年），第106页。
实则，他种几何体系固可能有，然究其实，此诸体系非空间本身，乃他法以量空间耳。空间唯此一个，纵吾辈可构多种流形——皆为定空间而设之术或理想构造也。——卡鲁斯，保罗《科学》杂志，十八卷（1903年），百六页。
2017．正如我先前所说，从哲学角度来看，非欧几何尚未常获充分理解，那么我现在必须强调，它在数学科学中已得到普遍认可；事实上，在许多情况下，例如在现代函数论中，它被用作一种极为便捷的工具，用于直观呈现高度复杂的算术关系。——克莱因，F.《高观点下的初等数学》（莱比锡，1909年），第2卷，第377页。
昔吾尝言，非欧几何自哲学观之，尚未常得尽解，今则必强调：其于数学之学，已为众所公认。实则，于多端之用，如近代函数论中，常以之为至便之具，以直观表繁复之算术关系。——克莱因，F.
《高观点下的初等数学》（莱比锡，1909年），二卷，三百七十七页。
2018．物理科学中的一切——从引力定律到桥梁建造，从分光镜到航海术——都将因“我们的实际空间是欧几里得空间”这一假设存在任何显着误差而发生深刻改变。因此，物理科学被观察到的真实性，构成了压倒性的经验证据，表明这一假设即便并非绝对正确，也非常接近正确。——罗素，伯特兰
《几何基础》（剑桥，1897年），第6页。
物理之学中诸事，自引力律至造桥，自分光镜至航海术，若“吾辈所处实空间为欧氏空间”之设稍有大差，则皆将剧变。故物理之学所察之真，实为强证，示此设纵非确然，亦甚近真。——罗素，伯特兰
《几何基础》（剑桥，1897年），六页。