第十三章 数学与逻辑
=1301.=数学适用于每一项研究，无论是道德的还是物理的。甚至连逻辑规则——数学被严格束缚于这些规则——如果没有数学的帮助也无法推导出来。论证的法则可以简单陈述，但在将其应用于鲜活的语言并通过观察验证之前，必须对其进行巧妙的转换。纯粹而简单形式的三段论不能直接与所有经验相比较，否则就不需要亚里士多德去发现它了。它必须转化为推理喜欢采用的所有可能形式，这种转化就是建立法则过程中的数学操作。
——本杰明·皮尔斯《线性结合代数》；《美国数学杂志》，第4卷（1881年），第97页
算学之用，遍及物理、名教诸学。即名理之规则，若无算学相助，亦难推演。论辩之法，虽可简言其要，然欲施于言语、验于实事，则须变通其式。三段论法，若守其本形，难合万事之变，故待亚里士多德而始彰。必使之千变万化，契合推理之妙，此变通之道，即算学之能事也。
——本杰明·皮尔斯《线性结合代数》；《美国算学杂志》，第4卷（1881年），第97页
=1302.=在数学中，我们看到了我们思维有意识的逻辑活动最纯粹、最完美的形式；在这里，我们清楚地看到了思维前进所需的全部努力和极大的谨慎，看到了精确确定已建立的一般定理来源的必要性，以及形成和理解抽象概念的困难；但我们也在这里学会了相信这种智力劳动的确定性、广度和成果丰富性。
——h.亥姆霍兹《演讲与致辞》，第1卷（布伦瑞克，1896年），第176页
算学之中，名理之思，纯然无杂，尽善尽美。观其研求之勤、思虑之密，可知确立定理须穷其本源；察其抽象之难、理解之艰，可知构建概念非易事。然习之既久，则信此心智之功，必有所成，且其用无穷。
——h.亥姆霍兹《讲演与文辞》，第1卷（布伦瑞克，1896年），第176页
=1303.=数学证明是一种逻辑，其用途不亚于甚至超过学校里通常教授的逻辑，有助于正确塑造心智，扩展心智能力并增强它，使其能够进行精确推理，并在所有情况下——甚至是非数学的主题中——辨别真理与谬误。因此据说，古埃及人、波斯人和斯巴达人很少选举不具备数学知识的人作为新国王，他们认为没有数学知识的人判断不健全，不适合统治管理。
——本杰明·富兰克林
《数学的用途》；《着作集》（波士顿，1840年），第二卷，第68页
算学之证，其于逻辑之道，较庠序所授，或犹过之。此道可正心术、扩识量、坚智质，使人精于推衍，于万事万物间，辨真伪、明是非，即非算学之题，亦无滞碍。昔闻埃及、波斯、斯巴达立君，非通算学者弗选，盖以不通算理者，断事易谬，不足临民而治国也。
——本杰明·富兰克林
《算学之用》；《文集》（波士顿，1840年），卷二，页六十八
=1304.=数学概念从本质上说是抽象的，实际上其抽象程度通常比逻辑学家的抽象程度更高。
——乔治·克里斯托尔
《大英百科全书》（第九版），“数学”条目
算学之念，本性玄奥。其抽象之境，往往高于逻辑之思。
——乔治·克里斯托尔
《大英百科全书》（第九版），“算学”条
=1305.=数学是科学逻辑的巨大钳子……
——G.b.哈尔斯特德
《科学》（1905年），第161页
算学者，科学逻辑之巨钳也……
——G.b.哈尔斯特德
《科学》（1905年），页一百六十一
=1306.=逻辑借用了几何学的规则，却不理解其力量……我绝不想把逻辑学家与几何学家相提并论，后者才教授引导理性的真正方法……每个人都在寻求避免错误的方法。逻辑学家声称能引路，但只有几何学家能抵达，而且除了他们的科学之外，没有真正的证明。
——帕斯卡
（引自A.雷比埃《数学与数学家》，巴黎，1898年，第162-163页）
逻辑借几何之规，然未解其神髓……逻辑之徒与几何之士，岂可同日而语？后者方得导正思维之真法。世人皆求避谬之术，逻辑自诩前驱，实则唯几何能至。舍此学外，无真证之道。
——帕斯卡
（引自A.雷比埃《算学与算家》，巴黎，1898年，页一百六十二至一百六十三）
=1307.=数学如同辩证法，是高级思维的工具，在运用中它像雄辩术一样是门艺术。两者都只看重形式，对内容毫不在意。数学考虑的是便士还是几尼，修辞学扞卫的是真理还是谬误，对两者来说都完全无关紧要。
——歌德
《散文格言》，“自然”第四部分，第946条
算学与辩证，皆为高智之器；施用之际，若辩士之雄谈，乃成妙艺。二者重形而轻质：算学不论数值贵贱，修辞岂分正邪？于彼皆无关宏旨。
——歌德
《散文箴言》，“自然”卷四，第九百四十六条
=1308.=局限在其真正领域内，数学推理非常适合履行健全逻辑的普遍职责：归纳以便演绎，演绎以便构建……它满足于在最有利的领域提供清晰、精确和一致性的模型，仅仅对其进行深入思考，就能让心智准备好使其他概念也尽可能达到其本质所允许的完美程度。其普遍影响更多是消极而非积极的，首先必须在于处处激发我们对模糊、不一致和晦涩的不可战胜的厌恶，只要我们付出足够努力，在任何推理中都确实可以避免这些问题。
——A.孔德《主观综合》
算学之推，若处其域，则尽善尽美，足以为逻辑之范：先归纳而后演绎，由演绎以成体系……于相宜之境，立明晰、精审、贯通之模。潜心观之，可启心智，使他学之理，亦臻于至善。其功虽多在匡谬，然首在涤荡模糊、矛盾、晦涩之弊。若勤加砥砺，诸般推理，皆可免此患。
——A.孔德《主观综论》
=1309.=形式思维，当被有意识地认作如此时，是所有精确知识的手段；对主要形式科学——逻辑和数学——的正确理解，是科学教育恰当且唯一可靠的基础。
——亚瑟·勒菲弗《数及其代数》（波士顿，第222节）
形式之思，若能自觉，乃通精确之学之津梁。深谙逻辑、算学此二形式大道，方为格物致知之正基。
——亚瑟·勒菲弗《数与代数》（波士顿，第二百二十二条）
=1310.=不知何故，数学和逻辑本应只是物理学的助手，却凭借它们所拥有的确定性，竟僭越为主宰物理学的力量。
——弗朗西斯·培根《新工具》，第三卷
算学、逻辑，本为格物之佐，今竟恃其确凿之性，反欲凌驾其上，此不知何以至此也。
——弗朗西斯·培根《新工具》，卷三
=1311.=我们可以把几何学视为实用逻辑，因为它所研究的真理是所有真理中最简单、最可感知的，因此最容易且最适合应用推理规则。
——达朗贝尔
（引自A.雷比埃《数学与数学家》，巴黎，1898年，第151-152页）
几何者，实用之逻辑也。其所究之理，至简至明，故推理之则，最易施用。
——达朗贝尔（引自A.雷比埃《算学与算家》，巴黎，1898年，页一百五十一至一百五十二）
=1312.=数学之外不乏显着的证明实例，可以说亚里士多德在《前分析篇》中已经给出了一些。事实上逻辑和几何一样能够进行证明……在我们所知的着作中，阿基米德是第一个在处理物理学问题时运用证明艺术的人，正如他在关于平衡的着作中所做的那样。此外，法学家也有许多出色的证明，尤其是古罗马法学家，他们的片段在《学说汇纂》中保存了下来。
——G.w.莱布尼茨《人类理解新论》[兰利译]，第四卷，第二章，第12节
算学之外，证例亦夥。亚里士多德《前分析篇》已开其端。实则逻辑之证，与几何无异……阿基米德着《论平衡》，于格物之题，首用证明之术。再者，古罗马法吏之论，存于《学说汇纂》者，亦多精审之证。
——G.w.莱布尼茨《人类理解新论》[兰利译]，卷四，第二章，第十二节
=1313.=人们通常认为，数学的确定性源于对形式逻辑永恒原理的依赖。这……只是表述不完整的片面之词。另一部分真相是，形式逻辑原理之所以具有如此程度的持久性，很大程度上是因为它们经过了数学家长期而多样的使用锤炼。你可能会说：“这是恶性循环！”我更愿意将其描述为一个被数学家称为逐次逼近法的过程实例。
——马克西姆·博歇《美国数学会公报》，第11卷，第120页
世皆谓数学之确，源于恃形式逻辑之恒理。然此论仅得半解，未尽其详。盖形式逻辑之恒，亦多赖数学家历久用之，淬而炼之。或斥之曰：“此非循环之谬耶？” 吾以为，此乃数学家所谓“逐次趋近之法”之例也。
——马克西姆·博歇
《美数学会刊》，卷十一，页一百二十
=1314.=逻辑在指导和增强理解作用方面的任何优势，在数学研究中都能以更高程度体现，此外还具有巨大的附加优势：研究对象确定、范围明确，允许极致的精确性，并且没有所有抽象逻辑所固有的危险——即导致无用和幼稚的规则，或徒劳的本体论思辨。实证方法在任何地方都是一致的，在推理艺术中也和在其他领域一样得心应手：这就是为什么没有任何科学，无论是生物学还是其他学科，能提供某种推理，而数学不能提供更简单、更纯粹的对应形式。因此，我们能够剔除旧哲学中唯一似乎还能提供任何实际效用的部分，即逻辑部分，而其价值已被数学科学不可逆转地吸收。
——A.孔德《实证哲学》[马蒂诺译]，（伦敦，1875年），第一卷，第321-322页
逻辑于启智正思之益，数学皆备之，且更胜一筹。数学之题，界域明晰，可穷极精微，无抽象逻辑之弊——如立迂腐之规，作虚妄之辩。实证之法，放之四海而皆准，于推理之道亦如是。故凡百科学，无论生物或他类，其推理之式，数学皆有更简更纯者可拟之。由此，旧哲之学，唯余逻辑似有小用，然其精要亦尽归数学矣。
——A.孔德《实证哲学》[马蒂诺译]，（伦敦，1875年），卷一，页三百二十一至三百二十二
=1315.=我们知道，数学家对逻辑的关心程度，不亚于逻辑学家对数学的关心程度。精确科学的两只眼睛是数学和逻辑：数学派挖出了逻辑眼，逻辑派挖出了数学眼，双方都认为自己用一只眼睛比用两只眼睛看得更清楚。
——A.德摩根（引自F.卡乔里《数学史》，纽约，1897年，第316页）
数学家轻逻辑，犹逻辑家忽数学。夫精确之学，若人之双目，一曰数学，一曰逻辑。数学家蔽其一目，逻辑家掩其另一，皆以为独目视物，胜乎双明。
——A.德摩根
（引自F.卡乔里《数学史》，纽约，1897年，页三百一十六）
=1316.=理性发现艺术的进步在很大程度上取决于特征艺术。人们通常只在数字、线条和由它们表示的事物中寻求证明，原因无他，除了数字之外，没有与概念相对应的便捷符号。
——G.w.莱布尼茨《哲学着作》[格哈特编]，第8卷，第198页
理性探知之进步，多赖“符号之术”。世人独于数、线及所象之物求证明者，以数外无适意之符号配概念故也。
——G.w.莱布尼茨《哲学文集》[格哈特编]，卷八，页一百九十八